「ガウス混合モデル（GMM） 理論から実装まで」

「ガウス混合モデル（GMM）の理論から実装まで」

GMMとそれらを訓練するために使用される期待値最大化アルゴリズムの詳細な説明

ガウス混合モデル（GMM）は、データをガウス（正規）分布の混合として表現する統計モデルです。これらのモデルは、データセット内のグループを識別し、データ分布の複雑な多峰構造を捉えるために使用されます。

GMMは、クラスタリング、密度推定、パターン認識など、さまざまな機械学習の応用で使用されます。

この記事では、まず混合モデルを詳しく探求し、特にガウス混合モデルとその基本原理に焦点を当てます。次に、強力な手法である期待値最大化（EM）を使用してこれらのモデルのパラメータを推定する方法について調べ、Pythonでのスクラッチでの実装の手順を提供します。最後に、Scikit-Learnライブラリを使用してGMMでクラスタリングを行う方法を実演します。

混合モデル

混合モデル（mixture model）は、複数の異なるソースやカテゴリから生じる可能性のあるデータを表すための確率モデルです。たとえば、金融リターンは通常の市場条件と危機期間では異なる振る舞いをするため、2つの異なる分布の混合としてモデル化することができます。

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形式的には、XがK個の成分分布の混合となるランダム変数である場合、Xの確率密度関数（PDF）または確率質量関数（PMF）は次のように書けます：

ここで：

• p(x)は混合モデルの全体的な密度または質量関数です。
• Kは混合物中の成分分布の数です。
• fₖ(x; θₖ)はθₖでパラメータ化されたk番目の成分分布の密度または質量関数です。
• wₖはk番目の成分分布の混合重みで、0 ≤ wₖ ≤ 1であり、重みの合計は1です。wₖは事前確率とも呼ばれます…

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