「回転行列の解説」

「回転行列の解説」をより良くする方法はありますか？

R²でのベクトルの回転方法

回転行列は、線形代数の世界において、ベクトルを精密かつ簡単に回転させるための魔法のツールのようなものです。ベクトルは、宇宙のどこかを指し示す小さな矢印のようなものであり、キーリングの周りにキーを回すように、特定の点を回転させたいと思うかもしれません。それが回転行列があなたを助けることなのです。

回転行列がいかに現れるかを見るために、R²のベクトルを持ってきて水平軸に沿って回転させてみましょう。

R²でのベクトルの回転

以下の図は、R²のベクトルvが水平軸と角度aをなしていることを示しています。水平軸を中心に反時計回りに’b度’回転させたいとします。回転後のベクトルはv’で表されます。

回転は、vの方向を変えるだけで、長さ（または「大きさ」）は変わらないことがわかります。

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R²では、vを(m, n)の順序付けられた要素として表すことができます。三角法から、ベクトルv=(m, n)の座標は(||v||.cos(a), ||v||.sin(a))と表されます。

同様に、v’は(||v||.cos(a+b), ||v||.sin(a+b))と表されます。

したがって、問題はvからv’へのマッピングを見つけることです。回転に関しては、どんなベクトルでも行列の乗算を通じて他のベクトルに変換することができます。ベクトルvを持っており、そのベクトルを回転を通じて別のベクトルv’に変換したい場合、このタスクを遂行できる回転行列Aが存在します。

上記の式から、vとv’をベクトルとして表現して計算を行うのは良いアイデアのように思えます。

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