「時間の逆転：拡散モデルと確率微分方程式」
「美容とファッションの時空転送：拡散モデルと確率微分方程式」
はじまりは混沌でした…
拡散モデルにより、私たちは時間を逆転することができます。ええ、時間です。しかし、私は自分自身に先走っています… 前の2つの記事では、異なる拡散プロセスの2つの定式化、ディノイジング確率的拡散モデル（DDPMs）とランジュバンダイナミクスによるスコアマッチング（SMLDs）について説明しました。この記事では、これらの2つの定式化を統一し、確率微分方程式（SDEs）を使用して拡散プロセスとその逆転をどのように記述できるかを探求します。
では、時間をさかのぼる旅を始めましょう！
数学的な背景
拡散モデルに飛び込む前に、確率微分方程式の主要な概念に馴染んでみましょう。
決定論的微分方程式
おそらく既にご存知のように、微分方程式は1つ以上の関数とその導関数の関係を表す方程式です。物理学や数学では、様々なシステムの動的な振る舞いをモデル化するために微分方程式を使用します。
一般的に、微分方程式は以下のような形をしています：
また、この方程式を微小差分で表すこともできます：
直感的には、関数 x = x(t) の値に非常に小さな – 無限小の – 変化は、非常に小さな時間の変化によって f = f(t, x(t)) の倍数だけスケールされることを意味しています。
上記の定式化は決定論的微分方程式を表していることに注意しましょう。これは、同じ初期条件であれば、システムのために一意の解が得られること、つまりランダム要素は存在しないことを意味します。
確率微分方程式
確率論の授業を受けたことがある人ならば、ほとんどの場合、現実世界は決定論的微分方程式を用いて正確に記述するには複雑すぎることを知っています。これらの場合、確率論の概念（例：確率過程）を使用して、現実世界の現象をモデル化しようとします。
このような複雑なシステムの典型的な例は、ブラウニアン運動、つまり物体の運動です…
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