「高速フーリエ変換のための量子速度アップ？」
「美とファッションの世界で輝くための秘訣とは？」(The secret to shining in the world of beauty and fashion)
研究者たちは数十年にわたり、量子コンピュータの理論的な可能性を探求してきました。しかしながら、最近の数年間で、実際のシステムが徐々に正確さとスケールを実現し、それらが将来の影響を現実的に考えられるものとするようになってきました。
注目と投資の主な原因は、Peter Shor（現在はマサチューセッツ工科大学）によって開発された量子コンピュータが現行の公開鍵暗号化方式を破る可能性がある手法の革新的な導入です。数字の素因数分解に必要な時間など、古典的な技術の要求は入力の桁数に指数関数的に増加します。一方、Shorの量子アルゴリズムの要求は多項式関数としてのみ成長し、将来の量子コンピュータによる暗号化データへの脆弱性が考えられます。
この手法の重要な要素は、データ列に存在する優勢な繰り返し周波数を迅速に決定するためのフーリエ変換の量子実装であり、大きな数の素因数を指し示します。実際に、量子フーリエ変換（QFT）は、これまでに提案されてきた指数的な大きなパワーを持つ量子アルゴリズムの中核です。 （Lov Groverによって開発された別のクラスのアルゴリズムは非構造化量子探索を高速化しますが、問題のサイズのべき乗としてのみ機能します。）
現在、フーリエ変換は画像処理などのタスクで広く使用されていますが、QFTは直接にはこれらの重要な応用に対応していません。この状況を改善するために、さまざまなアプローチで量子のアプローチを開発している研究者たちは、より普及した量子コンピューティングのツールキットの一部となる可能性があります。しかし、現時点では、量子の利点はそれほど説得力がないように思われます。
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FFT：高速フーリエ変換
フーリエ変換は、時間にわたる値の系列などの入力データを、周波数スペクトルの振幅（複素数）に変換します。一般的なデジタルアプリケーションでは、入力はいくつかの離散的なサンプル（N個）で構成され、出力スペクトルにはN個の空間または時間の周波数が含まれます。スペクトルは元のデータと完全に等価であり、似たようなプロセスを使用して再構築することができます。
この変換は、データを簡単に圧縮する方法を提供します。たとえば、振幅を低い解像度で表現したり、高周波成分を破棄したりすることができます。JPEG（Joint Photographic Experts Group）形式などでは、最も重要な特徴を保持しながらファイルのサイズを縮小することができます。フーリエ変換の変形である「離散コサイン変換」は、二次元のピクセルデータから空間周波数成分を計算します。
数学的には、各周波数の振幅は、入力の各点の値に周波数と点のインデックスの積に依存する因子で乗算することで計算されます。したがって、N個の点とN個の周波数にはN2の演算が必要とされます。ただし、1965年にJames CooleyとJohn Tukeyによって普及させた「高速フーリエ変換（FFT）」と呼ばれる分割統治法を使用することで、計算を大幅に高速化することができます。たとえば、Nが2のべき乗であれば、フルの変換は行列を繰り返し4つのサブ行列に分割することで計算できます。このアルゴリズムには、Nに対して必要なリソースが線形以上にわずかに増加するだけで、N2に比例するものではありません。
QFT：量子フーリエ変換
フーリエ変換のさらなる強力な速度向上が量子コンピューティングの完全な力を示していますが、その出力はFFTよりも制限されています。たとえば、Shorの素因数分解アルゴリズムは、シーケンスの優勢な周期（または周波数）を決定しますが、他の周波数の振幅は決定しません。
フーリエ変換は、振幅の相対情報を調べる自然な方法ですが、「求めたい情報を最後に見つけなければならない」とアボット氏は述べています。
周期を決定するために、量子ビットまたはキュビットの状態は、フーリエ変換と同様に変換されます。この操作の後、キュビットには入力のすべての情報が含まれています。ただし、典型的な場合には、「ノイズによってすばやく淘汰されるかもしれない非常に小さな回転」が関与しますと、フランスのInria（国立研究所）のAlastair Abbottは警告しています。これらの操作を堅牢に行う方法を見つけることは難しいです。
この情報を抽出する際、答えは一つしかありません。値を測定すると、各キュビットはクラシックビットのように0または1の値を取らなければなりません。より微妙な「量子情報」、たとえば複数の可能な結果を表すものは測定時に消えます。
フーリエ変換は、振幅の相対情報を調査する自然な方法です。Abbot氏は「結局のところ、求めたい情報を抽出する方法を見つけなければならず、それが非自明な部分です。」と語りました。QFTの優れた点は、測定がほぼ確実に対象周期性を表すキュビットに対して1を生成し、他のキュビットは0として測定される状態を生成することです。
QFFT：量子高速フーリエ変換
確かな重要性にもかかわらず、QFTはFFTアルゴリズムで広く使用される完全なスペクトル情報へのアクセスを提供しません。この問題に対処するため、日本の東京理科大学（TUS）の物理学者たちは、FFTを実行するための量子回路を提案しており、これをQFFTと呼んでいます（ただし、この名前はQFTとの混同のリスクがあります）。
提案された回路は、単一の入力（例：画像）において、古典的なFFTよりも量子のスピードアップを示すことは期待されていません。ただし、研究者たちは、リソースを追加することなく複数の画像に対して計算を並列に実行することができると主張しています。
フーリエ変換を実装するために、TUSチームは基底符号化と呼ばれる戦略を使用しています。これは、QFTの効果的なアナログ前測定操作とは「基本的に異なる」戦略だと彼らは述べています。入力データを直接キュビットの振幅として表現する代わりに、入力データは2進数表現に変換されます。その2進数表現は多くのキュビットの状態に転送されます。
量子回路は、クラシカルな回路と似た計算をこれらのビットに対して行うように設計されています。違いの一つは、追加の入力ストリームを量子的な「重ね合わせ」として構成に同時に埋め込むことができ、FFT計算を一度にすべて行うことです。
「いくつかの問題は少しやりやすくなるかもしれませんが、故障許容型計算がない場合、実際にはほとんどできません。」
結局のところ、変換された出力を測定すると、結果は一つだけです。ただし、測定を延期すると、この方法は完全なフーリエ変換を活用する別の量子計算のサブルーチンとして組み込むことができます。TUSの修士課程の学生である浅香涼氏は、「QFFTの出力に算術演算（加算や減算など）を適用することができますが、QFTはできません。これがQFFTの利点の一つです。」と述べています。ただし、現在のほとんどの応用では複数の画像間の比較は必要ありませんし、フーリエ変換の複数の量子表現を保持することが最も有力な方法だと思われます。
重要な点として、計算のための入力を準備するために必要なリソースが含まれるべきですが、これは時に見落とされることもあります。「[入力]の数に比例して入力の準備にかかる時間が増えると、QFFTの利点が失われます」と浅香氏は指摘しています。この結果を回避するために、彼は複数のキュビットの複雑な量子構成を準備し、それらを量子ランダムアクセスメモリに保存することを考えています。この「qRAM」は2000年代に提案されましたが、実用化はまだ行われていません。
量子アドバンテージを求めて
他の研究者も、量子コンピュータを一般的なタスクに使用する方法を考えています。しかし、現在の量子コンピュータシステムのキュビットはノイズが多く、繊細な量子状態をすぐに失ってしまうため、数が不足しています。ただし、これらのシステムは着実に大きくなり、改善されつつあります。2019年、Googleのチームが古典的なシステムではかなり長時間かかるタスクを実行したと発表し、中国の研究者たちも類似のデモンストレーションを説明しました。ただし、選ばれたタスクは実用上重要な機能を示していません。
長期的には、多くの観察者が、ほとんどの興味深い実践的な問題が量子エラー訂正に依存すると予想しています。これは、多くのキュビットが必要な微妙な技術です。「いくつかの問題は少しやりやすくなるかもしれません」とAbbott氏は述べましたが、多くの「他の問題は、実際にはちょっとでもうまく行く見込みはありません。ほとんどの量子フーリエ変換アルゴリズムは後者のカテゴリーに属します。」と付け加えました。「現時点でそれを下手にすることさえできません。」
研究者たちは既に、現在の「ノイズのある中間規模の量子」(NISQ) 時代に利用可能なシステムを使用して量子アルゴリズムを探求しています。最も有望な候補問題の一部には、分子や材料の量子シミュレーションがあります。小さな量子システムでは、たとえば最近の主張では、わずか7つのキュビットを使用して時空間のワームホールを通じた情報の輸送をエミュレートすることができるとされています。
また、低技術産業でも高い関心を持っているのは、製造リソースや財務など複雑なシステムの最適化の普遍的な課題です。ノイズがある場合でも最適な解を見つけることが可能であり、ハイブリッドな古典-量子アルゴリズムを通じて実現できます。（D-Wave Systemsもこれらの問題に対してより多くのキュビットを持つマシンを市場に提供していますが、より一般的なゲートベースのアーキテクチャとは異なり、その操作が本当に量子的であるかどうかについて、多くの研究者が疑問を持っています。）
企業や政府は、世界中で量子の可能なアルゴリズム、アーキテクチャ、物理的な実装を探求し続けています。ただし、数千のキュビットを持つ頑健で大規模な耐故障コンピューティングシステムは、おそらく将来の数年後になるでしょう。
さらに読む
朝香, R., 酒井, K., 家萩, R. “高速フーリエ変換のための量子回路”、量子情報処理 19 , 277 (2020)。DOI: https://doi.org/10.1007/s11128-020-02776-5
Arute, F. 他 “プログラマブルな超伝導プロセッサを使用した量子の至高性”、ネイチャー 574 , 505 (2019)。DOI: https://doi.org/10.1038/s41586-019-1666-5
Hoefler, T., Thomas Häner, T, Matthias Troyer, M. “虚飾と実用性を切り離す: 量子メリットを現実的に達成するために”、Communications 66 , 82 (2023)。DOI: https://doi.org/10.1145/3571725
著者
ドン・モンローは、アメリカ、バーモント州ミドルベリーを拠点とした科学技術ライターです。
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