「確率収束または分布収束」

Probability convergence or distribution convergence

2つの違いは何ですか？

統計学の学習中に、確率収束と分布収束という概念に出会ったことはありますか？なぜこれらの概念が最初に導入されたのか、考えたことはありますか？もしそうであれば、この記事はそれらの疑問のいくつかに答えるのに役立つことを目指しています。

確率収束

まず、より直感的に理解しやすい確率収束の概念について深く掘り下げてみましょう。無限に近づくにつれて、確率変数の列：X1、X2、…、XnがXnがxに非常に近い確率が1に近づく場合、Xnは確率的にxに収束すると結論づけることができます。

なぜこのように定義されるのでしょうか？この定義の背後にある理論は、nがどれほど大きくなろうとも、Xnは正確に等しくなることはないという事実に基づいています。私たちが言えることは、Xnがxの周囲のある区間内にどれほど近いかを確率的に指定することです。

したがって、私たちの定義は、nが無限に近づくにつれて、Xnがxからεよりも大きな量だけ異なる確率がゼロに近づき、最終的にゼロに近づくと主張しています。さらに、εは任意に小さくすることができます。

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確率収束の説明的な例として、サンプル平均の概念があります。平均0、標準偏差0.1の正規分布からn個のサンプルを繰り返し抽出するシナリオを考えてみましょう。これらのn個のサンプルのサンプル平均を計算すると、得られるサンプル平均はXnという確率変数となり、独自の分布を持ちます。

では、この分布の性質はどのようなものでしょうか？n=1の場合、サンプル平均は単純に個々のサンプルそのものと等しくなり、その分布は、具体的には平均0、標準偏差0.1の正規分布と一致します。

しかし、n=1000の場合はどうでしょうか？直感的には、このような場合にはサンプル平均の計算結果が0に非常に近くなることを期待します。1000個のサンプルを繰り返し抽出してサンプル平均を計算すると、…

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