「線形代数1：線形方程式とシステム」

「美とファッションの世界」

連立一次方程式

はじめに

これは、機械学習の基礎数学である線形代数の基礎に関する定期的なシリーズの最初の追加記事です。この記事は、David C. Lay、Steven R. Lay、Judi J. McDonaldの著書「Linear Algebra and Its Applications」と一緒に読むことで、読者の理解を深めるのに役立つでしょう。このシリーズを外部の補足資料として考えてください。

これらのエッセイを通じて、私はこれらの基礎的な概念の理解を確固たるものにし、数学の学習に直感的なアプローチを提供することで他の人々に追加の明確さを提供したいと考えています。もし間違いやもっと詳しく解説すべき点があれば、共有していただければ、必要な修正を加えることができます。

背景

線形方程式と連立線形方程式は、ファイナンス、エンジニアリング、化学、コンピュータサイエンス、統計学、物理学など、さまざまな現実世界の応用分野において使用されます。化学では、線形方程式は化学反応のバランスや反応物質と生成物の量の計算に使用されます。線形代数の基礎であるこの概念は、物理学でも使用されます。物理学では、線形方程式は運動学や熱力学において物体の運動や距離、速度、加速度の計算、物理システムにおける熱伝達やエネルギーの流れをモデル化するために使用されます。金融分野では、予算編成やポートフォリオ分析に線形方程式と連立方程式が必要であり、エンジニアは建物の力学的な分析を行うために同様のツールを使用することがあります。線形代数はあらゆるところに存在し、それをある程度認識できるでしょう。

線形方程式

線形方程式は、1つまたは複数の変数を持つ方程式であり、各変数の指数は1である必要があります。以下の形式で表すことができます：a₁x₁ + a₂x₂ + … + 2ᵣxᵣ = bです。値[a₁、a₂、…、aᵣ]とbは線形方程式の係数と呼ばれます。

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線形方程式の例には、2x + 5y = 10、6x = 18、7v + 8w + 0x + 2y + 3z = 15、および3x₁ + 4x₂ + 5x₃+9x₄ + 10x₇ = 3などがあります。

線形方程式でない例は、2x² + 6x + 5 = 2です。これは二次方程式の一例です。別の線形方程式でない例としては、7x₁ + 3x₂ = x₁* y₁があります。これが線形方程式ではない理由は、この方程式をグラフに描くと分かります。これは有理関数y = 7x / x – 3に整理することができ、直線ではなく曲線になります。

線形方程式2x + 5y = 10を考えてみましょう。下の図は、線形方程式のグラフ表示を示しています。それは直線であることがわかります。これは直線の方程式y = mx + bを思い出すとより明らかになります。ここで、mは傾き、bはy切片を表します。線形方程式は、以下のように再配列することでこの形式を仮定します。

以下の結論を得ることができます。直線上に存在するすべての(x, y)の点は、方程式2x + 5y = 10の解です。たとえば、x切片(5, 0)の点を選択し、方程式におけるxとyの値をそれぞれの位置に代入します。2(5) + 5(0) = 10. 直線上の任意の(x, y)の点を方程式に代入すると、等式が成り立ちます。この結果を一般化したルールを述べることができます:

二変数のある線形方程式ax + by = cの実数解集合は、直線で表される。

この単一の方程式は、 ℝ² に広がる無数の解を持つことに注意してください。後で解の数について詳しく見てみます。

この同じ基本的な概念は、 ℝ³ のような ℝⁿ として表されるより高次元の座標空間にも移行します。それによって、追加の第3の変数があるため、直線は平面になります。

線形方程式の系

線形方程式の系は、同一の変数を共有する1つ以上の線形方程式の集まりです。例:

6x + 2y = 4

2x + 4y = 8

線形方程式の系の解とは、それぞれの変数に代入すると各方程式が真となる値（s₁、s₂、…、sᵣ）で定義されます。上記の系の場合、解は(0, 2)です。なぜなら、(0, 2)を系に代入すると、両方の方程式が真と評価されるからです。

線形系の解

線形系の解には、グラフの意味はありますか？線形系の解の数にはどのような場合がありますか？このセクションでは、それぞれの可能性を詳細に調べます。以下がそれらです:

1. 唯一の解
2. 解が存在しない
3. 無数の解

唯一の解: 上記のような2つの変数を持つ線形系の場合、解は交点です。なぜなら、解は両方の方程式が満たされなければならない順序対であり、そのような順序対が存在しない場合、直線は交差しないことを意味します。これは唯一の解の例です。線形系のすべての方程式を満たす唯一の解が存在します。

解が存在しない: 解が存在しない場合を考えてみましょう。2つの変数を持つ線形系のコンテキストでそれが意味するものは何でしょうか？どのようなシナリオでは、直線の集まりが交差しないでしょうか？直線が平行である場合が1つのケースです。直線がすべて平行な線形系の場合、その線形系には解が存在しません。もう1つのケースは、いくつかの直線が他の直線と交差する場合でも、共通の交点が存在しない場合です。

無数の解: 線形系の最後の場合は、無数の解の存在です。2つの変数を持つ線形系で無数の解が可能なのはいつでしょうか？直線が同一の場合、重なり合っているため無数の交点が存在し、その結果無数の解が存在します。以下の線形系を考えてみてください:

6x + 3y = 18

2x + y = 6

係数は異なるかもしれませんが、これらの直線は実際には同一です！最初の方程式の係数をすべて3で割ると、結果としての方程式は2x + y = 6になります。

線形系の解の数の視覚化は、変数の数が増えるに従って変化します。以下に示すのは、3つの変数を持つ線形系のすべての解のケースの可能な図です。3つ以上の次元になると、人間の脳には視覚的には難しくなりますが、同じルールが適用されます！変数がいくつあっても、すべての線形系には解がないか、1つの解があるか、無数の解があるかのいずれかです。

行列表記

線形方程式が複雑になるにつれて、記法が扱いにくくなる場合があります。線形系の情報が簡単に操作や作業できるように、方程式の集まりではなく行列表記がよく使用されます。係数行列は、各方程式から b の係数を除外したタイプの行列です。拡張行列は、b の係数を含めるため、係数行列より1つ多い列を持ちます。

サイズ、または順序は、行列の行数と列数を示します。 m x n 行列は、m 行および n 列の行列です。行の数は、システムが持つ線形方程式の数を示し、列の数は変数の数を示します。順序は入れ替え可能ではないため、行数が列数よりも前に来るように注意してください。

線形システムの解法

線形システムに解があるかどうか、および解が一意であるか無限の解がある場合、およびその解を求めるための体系的な方法があります。線形システムの解法には、元の形での線形方程式または行列を使用することができますが、表記がより清潔でコンパクトな行列を使用することをお勧めします。ただし、お互いのメカニクスに対する追加の洞察を提供するための両方の方法に精通していることが良いです。

以下は、行列を使用しない方程式の解法のステップバイステップのプロセスです。基本的なアイデアは、既存の方程式を乗算して同等の方程式を取得し、変数を1つ除去するために別の方程式に加算または減算する新しい方程式を作成することです。このプロセスを繰り返し、システムから十分な未知数を除去して1つの変数を解くことができるようにし、後退代入を使用して残りの変数を解くことができます。最後に、解が実際に方程式のシステムを満たすかどうかを確認するためにチェックが必要です。

行の操作

先に述べた手順は、行列中心の線形システムの解法手順にも適用できます。各変換後に行列内に除去された変数がどのように指定されているかに注意してください。ただし、それに入る前に、いくつかの行の操作を定義しましょう。実際には、以前に適用した操作と並行しています。

1. 置換:「行をそれ自体と別の行の合計で置き換える」*
2. 交換:「2つの行を交換する」*
3. スケーリング:「行内のすべてのエントリを非ゼロの定数で乗算する」*

同じ線形システムを行列を使用して行ない、行の操作を適用してもう一度アプローチしてみましょう。

線形方程式の手法と同じ操作とスケール係数を使用したことに注意してください。驚くことではないですが、以前の方程式と同じ方程式が得られます。もう1つ注目すべきことは、最終行列の左下隅に現れる三角形の形成です。0は除去された変数のマーカーであり、各変数が除去されるたびに、解きやすい方程式を特定するための進歩があります。これにより、システム全体を解くための進捗が得られます。この発生について再訪し、次の章でより形式的な定義を提供します。

概要

この章では、次のことを学びました：

• 線形方程式：次数が1と等しい1つ以上の変数を持つ方程式。
• 線形方程式のシステム：複数の線形方程式の集合。
• 1つ以上の線形方程式のシステムの解：線形システムには解がない、一意の解、無限の解がある。
• 行列表記：線形システムを簡潔な方法で表すための長方形の配列。
• 行の操作：置換、交換、およびスケーリングの操作により、未知の変数を十分に除去してシステムを解くことができるようになります。
• 線形システムの解法：与えられた線形システムの解が存在するかどうか、および解が存在する場合、その正確な値が何であるかを見つけるための体系的な方法。

注釈

*特に記載がない限り、記事の著者によるすべての画像です。

*ちなみに: 二次方程式という言葉は、ラテン語の”quadrare”（「正方形にする」を意味する言葉）の過去分詞である”quadratus”に由来しており、その次数を称えています！[出所]

*ℝ²は、実数直線上の可能な全ての順序対(x, y)の空間であり、二次元平面で表されます。ℝ²は実数の全ての集合を包括しており、実数の集合は可算無限であるため、ℝ²空間も無限です。

*行の操作の引用元は[src]です。

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