CDFとPDFの違いは何ですか？

CDFとPDFの違いは何ですか？' (CDF stands for Cumulative Distribution Function and PDF stands for Probability Density Function. What are the differences between them?)

累積分布関数（CDF）と確率密度関数（PDF）は、確率論の中で学生をしばしば困惑させる2つの重要な概念です。確率変数の振る舞い、特性、分布を理解するためには、これらの操作が重要です。連続的なおよび離散的な確率変数に関連する確率を分析し解釈するためには、PDFとCDFの違いを把握することが重要です。

この記事では、PDFとCDFの定義、それぞれの役割と相互作用について説明します。さまざまな統計的な応用におけるPDFとCDFの意義を明確にするために、使用例も提供します。

確率密度関数（PDF）とは何ですか？

PDFは、連続的な確率変数に関連する確率を理解するための重要なツールです。可能な値に対する確率分布を表す滑らかな曲線を提供します。PDF関数は特定の個別の値の確率を与えるのではありませんが、特定のポイントの周りの小さな間隔内で確率変数が値を取る可能性を説明します。

PDFの概念を理解するために、例えば成人男性の身長のような連続的な確率分布を想像してください。PDFでは、さまざまな身長の範囲の確率が表示されます。たとえば、身長が5’9 “から5’10 “の間の人は、その範囲外の人よりも多いと示唆されるかもしれません。

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範囲内のPDF曲線の下の面積は、その範囲内にランダム変数が落ちる確率を表します。その値に非常に近い確率、つまりランダム変数がその値にほぼ等しい確率を計算するには、その点でのPDFの積分を計算することによってのみ可能です。

累積分布関数（CDF）とは何ですか？

CDFは、PDFとは対照的な概念であり、ランダム変数に関連する確率の累積的な視点を提供します。PDFの滑らかな曲線とは異なり、CDFは特定の値でジャンプするステップ関数です。特定の数がランダム変数以下である可能性を示します。

CDFは負の値では0から始まり、ランダム変数の値が上昇するにつれて1に向かって着実に増加します。離散的な確率変数の場合、CDFは各可能な結果の確率に対応するステップで増加します。連続的な確率変数の場合、異なる区間全体で蓄積された確率を反映して滑らかに増加します。

先ほどの男性の身長の例から、特定の値（例：5’9 “）以下で男性を見つける可能性をCDFは示します。CDFによって「5’9 “未満の成人男性の割合は何パーセントですか？」などの質問に対して累積確率を示すことができます。

関連記事：データサイエンスの確率分布入門

PDF vs CDFの理解と例

確率密度関数（PDF）と累積分布関数（CDF）がどのように相互作用するかを理解することは、ランダム変数の振る舞いと分布の仕組みを理解する上で重要です。両関数は、ランダム変数の値の確率に対する補完的な洞察を提供します。

以前に公正な6面サイコロの例を使用してPDFとCDFを計算する方法を示しました。ここでは、それらの関連性とより深い側面について調べてみましょう。

PDFからCDFを計算する

CDFをPDFから計算するには、与えられた範囲でPDFを積分する必要があります。連続的な確率変数のある点x（F(x)）に対するCDFは、その点までのPDF曲線の領域に等しいです。数学的には次のようにモデル化できます：

F(x)=[a, x]f(t)dt

ここで、xは累積確率を取得したい分布曲線上の点であり、aは範囲の下限です。

公正なサイコロを振る例で、以前に計算したPDF値を使用してCDFを求めることができます：

x = 3の場合のCDFを計算しましょう：

F(3) = ∫[1, 3] f(t) dt

F(3) = ∫[1, 3] 16 dt

F(3) = [t6] |[1, 3]

F(3) = (36) - (16)

F(3) = 26

同様に、同じアプローチを使用して他のxの値に対するCDFを計算することもできます。

離散確率変数のPDFとCDFの関連

離散確率変数におけるPMF（確率質量関数）とCDF（累積分布関数）の関係はより明確です。PMFは離散確率変数の各特定値に対する確率を提供し、CDFはこれらの確率を累積します。

特定の値xにおけるCDFは、確率変数がx以下である確率の合計です。数学的には、離散確率変数に対して以下のようになります：

F(x) = P(X ≤ x) = Σ[すべての値 ≤ x] P(X = 値)

x以下のすべての値の確率を合計することで、その地点までの累積確率を得ることができ、このプロセスはCDFの概念と一致します。

参照：データサイエンスプロフェッショナル向けの確率に関する40の質問

CDFとPDFの違いを理解する

CDFとPDFのユニークな特性と応用を理解しましょう：

定義

PDF	CDF
確率密度関数（PDF）は連続確率変数の確率分布を表します。ランダム変数が特定の値を取る確率を示します。	一般的に、ランダム変数が特定の値以下である確率は累積分布関数（CDF）によって決定されます。

表現

PDF	CDF
連続確率変数は、変数の値を表す「x」を使用して頻繁にf(x)という式で表されます。	連続および離散確率変数に適用でき、変数の値を表す「x」に対して頻繁にF(x)と表されます。

関数の種類

PDF	CDF
PDFは連続確率変数に使用され、確率は無限の値の範囲に分布しています。	CDFは離散および連続確率変数に適用され、ランダム変数のすべての可能な値に対して確率を累積します。

解釈

PDF	CDF
PDFは連続分布曲線上の特定の点での確率密度を提供し、確率が異なる値に広がる方法を示します。	CDFは特定の値までの累積確率を与え、その値以下であるランダム変数の確率に関する洞察を提供します。

積分

PDF	CDF
PDFの範囲内での積分は、ランダム変数がその範囲内に入る確率を示します。	CDFは、下限から特定の値「x」までのPDFを積分することで得られ、その地点までの確率を累積します。

範囲

PDF	CDF
PDFは、分布曲線上の任意の非負の値を取ることができ、変数がその値を取る可能性を表します。	CDFは常に0から1の範囲であり、累積確率を与えます。また、非減少であり、「x」が増加するにつれて増加するか一定のままです。

アプリケーション

PDF	CDF
PDFは確率密度推定、統計モデリング、連続分布の形状の理解に一般的に使用されます。	CDFは分布のパーセンタイルや分位数、ランダム変数が特定の範囲内に落ちる可能性を決定するために使用できます。

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結論

まとめると、CDFとPDFの違いを理解することは、確率と統計において重要です。両者はランダム変数とその分布の分析において重要な役割を果たします。データサイエンスにより深く入り込み、統計的なスキルを向上させたい場合は、Analytics Vidhya Blackbeltプログラムへの参加を検討してください。この包括的なプログラムは、データサイエンスの世界で優れた知識と専門知識を身につけるためのものです。Analytics VidhyaのBlackbeltプログラムを利用して、あなたの可能性を最大限に引き出し、キャリアを新たな高みに押し上げるこの機会をお見逃しなく。データサイエンスの旅を今日から始めましょう！

よくある質問

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