「プログラマーのための10の数学の概念」
10 Mathematical Concepts for Programmers
プログラマーの需要が増えるにつれ、供給も自然に毎日多くの人々がこの業界に参入しています。しかし、これは競争の激しい業界です。自分自身を継続的に向上させ、スキルセットを向上させ、給与を増やすためには、あなたが優れたプログラマーであることを証明する必要があります。そのためには、通常は知られていないことを学ぶことができる方法があります。
多くの人々は、プログラミング業界に参入する際に、それに必要な数学を知る必要がないという前提で参入しています。これは多少当たっていると言えますが、プログラミングの背後にある論理的な数学的な概念を理解することで、より優れたプログラマーになることができます。
それはどのようにして可能なのでしょうか？自分が何をしているのか、何が起こっているのかを理解することで可能です。
それではさっそく始めましょう。プログラマーにとってのトップ10の数学的な概念は何でしょうか？
ブール代数
ブール代数は、代数から派生したものです。これは明らかですね。プログラマーであるか、もしくはプログラマーになるためのクエストに取り組んでいる場合、おそらくブールが何であるかはすでに知っているでしょう。もし知らない場合は、簡単に定義します。
ブールは、0（偽）または1（真）の2つの可能な値を持つデータ型/バイナリ変数です。ブールデータ型はブール代数に基づいており、変数の値は真と偽として知られています。ブール代数では、次の3つの演算子を使用することができます。
- 論理積またはAND演算
- 論理和またはOR演算
- 否定またはNOT演算
これらはベン図で視覚的に表現することができ、出力の理解をより深めることができます。ブール代数は6つの法則で構成されています。
- 交換法則
- 結合法則
- 分配法則
- AND法則
- OR法則
- 否定法則
数の体系
コンピュータは数字を理解します。そのため、コンピュータには数の体系が必要です。数の体系は、数を表現するために使用される記述システムです。たとえば、以下の4つの最も一般的な数の体系があります。
- 10進数（基数10）
- 2進数（基数2）
- 8進数（基数8）
- 16進数（基数16）
コンピュータは基数2の数の体系を使用して動作します。この場合、可能な桁は0と1です。また、Base64はバイナリデータを文字列形式でエンコードするためにも使用されます。
浮動小数点
数についてさらに学ぶと、浮動小数点があります。浮動小数点は、実数を近似値として表す変数のデータ型です。浮動小数点数は、小数点の位置が固定されているのではなく、移動または「浮動」する数です。これにより、開発者は範囲と精度のトレードオフをすることができます。
ではなぜ近似値なのでしょうか？コンピュータは限られたスペースしか持っていません。32ビット（単精度）または64ビット（倍精度）のいずれかです。64ビットはPythonやJavaScriptなどのプログラミング言語のデフォルトです。浮動小数点数の例としては、1.29、87.565、9038724.2などがあります。これは正または負の整数であり、小数点を持ちます。
対数
対数（logとも呼ばれます）は、指数関数の逆を利用して問いに答える数学的な概念です。なぜ対数がプログラマーにとって重要なのでしょうか？それは複雑な数学的な計算を簡素化するからです。たとえば、1000 = 10^4と書くこともできますが、これは4 = log101000とも書くことができます。
基数は自身と乗算する必要がある数学的なオブジェクトです。指数は、基数が自身と乗算する回数を示す数です。したがって、対数は、与えられた数を生成するために基数を何乗する必要があるかを示す指数です。
logが基数2を使用する場合は、2進対数となり、Base- 10の場合は一般的な対数となります。
集合論
集合とは、順序関係を持たない一意の値のコレクションであり、互いに関連性を持つ必要はありません。集合はユニークなアイテムのみを含むことができ、同じアイテムを2回以上含むことはできません。
たとえば、エクセルファイルやデータベースには、一意の行を持つテーブルが含まれています。これは離散数学の一種であり、これらの構造は有限の要素を持つことがあります。集合論の目的は、値のコレクションとその間の関係を理解することです。これは通常、データアナリスト、SQLのエキスパート、データサイエンティストによって使用されます。
以下の方法を使用することで、これを行うことができます：
- 内部結合または共通部分 – 両方の集合に存在する要素を含む集合を返します
- 外部結合または和集合 – 両方の集合から要素を返します
- 全結合 – 外部結合演算子と同じですが、すべての重複を含みます。
- 差集合またはマイナス – AマイナスBは、集合Bの要素ではない集合Aの要素を含む集合です。
組み合わせ論
組み合わせ論は、パターンを通じて有限構造の特性を理解し、結果を得るためのものです。プログラミングは問題を解決することに関連しており、組み合わせ論は、これらの有限離散構造を研究するためにオブジェクトを配置する方法です。
組み合わせ論の公式は順列と組み合わせの組み合わせです。
- 順列は、集合をある順序や順序に配置することです
- 組み合わせは、順序を考慮に入れないで集合の値を選択することです。
グラフ理論
既にご存知のように、グラフは値の集合の視覚的な表現であり、これらの値は接続されることがあります。データに関しては、これらの値はグラフ理論ではリンクとして知られる変数によって接続されています。
グラフ理論は、点の接続された集合の辺と頂点の関係に関するグラフの研究です。これにより、頂点（ノードとも呼ばれる）を使用してオブジェクト間のペアワイズな関係を作成し、それらを線（エッジとも呼ばれる）で接続することができます。グラフは、G（V、E）というペアとして表されます。ここで、Vは有限集合の頂点を表し、Eは有限集合の辺を表します。
計算量理論
計算量理論は、アルゴリズムが入力サイズの関数として実行するために必要な時間とメモリの量の研究です。計算量の2つのタイプがあります：
- スペース計算量 – アルゴリズムが実行に必要なメモリの量です。
- 時間計算量 – アルゴリズムが実行に必要な時間の量です。
多くの人々はメモリの再利用が可能であるため、時間計算量に関心を持っています。時間計算量に関しては、アルゴリズムが実行する操作の数を考慮することが最善です。アルゴリズムは、if文とループを使用して構築されるため、時間を節約するためには、できるだけ少ないif文とループを使用するコードを使用する必要があります。
アルゴリズムの計算量理論では、ビッグオー記法を使用してアルゴリズムの限定的な動作を説明し、理解を深めるために使用されます。これは、アルゴリズムが入力サイズの変化にどのように反応するかによってアルゴリズムを分類するために使用されます。
統計学
統計学、ああ統計学。人工知能に取り組もうとしているなら、統計学について知っておく必要があります。AIと機械学習は、統計学という名前が使用される素敵な名前です。統計プログラミングは、ChatGPTなどのデータ重視の問題を解決するために使用されます。ChatGPTの応答は、ユーザーが提供したプロンプトとの一致の確率に基づいています。
統計プログラミングにおいて、平均、中央値、モード以上の知識が必要です。バイアス、共分散、およびベイズの定理についても学ぶ必要があります。プログラマとして、タスクが線形回帰の問題なのか、ロジスティック回帰の問題なのかを判断することになります。これら2つの違いを理解することで、手元の課題のタイプを特定するのに役立ちます。
線形代数
学校で線形代数を学んだことがあるかもしれませんし、ないかもしれません。線形代数は非常に重要であり、コンピュータグラフィックスやディープラーニングで広く使用されています。線形代数を理解するためには、次の3つの言葉を理解する必要があります：
- スカラー – 単一の数値
- ベクトル – 数字のリストまたは1次元配列
- 行列 – グリッドまたは2次元配列
ベクトルは3D空間での点と方向を表すことができますが、行列はこれらのベクトルに起こる変換を表すことができます。
まとめ
この記事では、プログラミングキャリアを向上させるためのトップ10の数学的概念を簡単に紹介しました。これらの詳細を学ぶことは、日々のタスクをスムーズに理解しやすくするだけでなく、雇用主に自身の潜在能力を示すこともできます。
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