コンピュータ支援証明が流体の流れに取り組む

コンピュータ支援証明と流体の流れ

長い間、研究者たちは天候、核融合プラズマ、および空力学などの重要な流体現象を支配する偏微分方程式を数値的に解いてきました。もちろん、結果の精度は常に方程式の有限精度と空間分解能によって制限されます。

コンピュータはまた、正確で厳密な数学の強力なツールになりました。例えば、証明アシスタントは、論理的な議論が正当であり、すべてのケースが考慮されていることを保証します。プログラムは、1976年の四色問題の証明の基礎となるような、超人的に大きな組み合わせのライブラリを熱心に検証できます。

しかし、驚くべきことに、研究者たちは数値計算を使用して、流体方程式の解に関する議論の余地のある文を厳密に証明しています。特に、最近の研究では、レオンハルト・オイラーが開発した流体流れを記述する方程式が、有限時間でいくつかの量が無限大になる解を持つことを証明しました。

これらの「特異点」は、非常に対称的な境界内の注意深く選択された初期条件でのみ発生することが証明されています。それでも、それらが存在することを知ることは、理想化されていない状況についての研究者の考え方を変える可能性があります。「特異点に正確に当たらない場合でも、近づくと、システムの振る舞いが予測不可能になるかもしれません」と、プリンストン大学の数学教授であるチャールズ・フェファーマンは述べています。

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さらに、最近の結果は、流体摩擦または粘性の影響を明確にするために拡張される可能性があります。粘性がある場合（および境界がない場合）に特異点の存在または不可能性を証明すると、Clay数学研究所によってミレニアム問題と分類される7つの複雑な数学問題のいずれかを解決する関連する百万ドルの賞を獲得することができます。

オイラー方程式に関する結果はまだこのチャレンジには達していませんが、それについての重要な手がかりを提供する可能性があります。また、それらは伝統的な解析的手法を用いて特異点を示す数学者のインスピレーションにもなるかもしれません。

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特異点の探索

流体の流れのパターンは、各流体のパーセルが圧力勾配などの力に応答することから生じます。方程式の重要な項は、流体の内部回転である渦度が移動するというものです。この「渦伸縮」の項は速度と回転の両方を含むため、非線形性が本質的に含まれており、結果として挙動が複雑になります。方程式は書き下すことは簡単ですが（オイラーは1757年にそうしました）、その解を見つけることは容易ではありません。

目標は、任意の初期条件から流体がどのように進化するかを予測することであり、初期条件では、始点の空間のすべての点での速度が指定されます。流体の流れの複雑さは、研究者の解析的な記述能力をすぐに圧倒しますが、コンピュータシミュレーションは実験に重要な補完となっています。

ただし、重要な未解決問題は、任意の初期条件に対して常に一意の「グローバルに正則な」解があるかどうかです。数年前、デューク大学の数学者であるタレク・エルギンディは、簡略化されたモデルで特異点を発見しました。「彼はオイラー方程式の特異解を作り出しました」とフェターマンは言いますが、「少し滑らかさが足りません」。

実際、20年以上前に、いくつかの研究者は爆発的に増加するように見える数値解を見つけました。しかし、より正確な計算を使用して、カリフォルニア工科大学のトーマス・ホウを含む他の研究者は、特異点のように見えるものが無限大に発散することなく停止することを示しました。

しかし、10年前、ホウと彼の同僚であるロウ・グォ（現在は香港恒生大学）は、慎重に選ばれたジオメトリー内のオイラー方程式の特異点についてより説得力のある数値的な兆候を示しました。彼らは、境界で円形の線で交差する時計回りと反時計回りの流体が交互に流れる完全な円筒形の容器によって制約された流体を研究しました。

目標は、任意の初期条件から流体がどのように進化するかを予測することであり、初期条件では、始点の空間のすべての点での速度が指定されます。

この線の周りでは、逆の流れが急速に成長する二次的な回転流を引き起こします。重要なことは、容器の円筒形の対称性と流れの鏡対称性が、渦度を増強する非線形性が特異点で集中することを保証するということです。渦度は有限の時間で無限大になるように見えますが、流体の速度は有限のままです。

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コンピュータ証明

侯氏と彼の学生である陳家杰（現在はニューヨーク大学コーラント研究所）による最近の研究は、この状況で真の特異点が発生することを証明しているとされています。興味深いことに、証明は数値プロファイルから始まりますが、侯氏は「コンピュータは無限の解像度を得ることはできません」と指摘しています。

それにもかかわらず、フェファーマンは説明しています。ほとんどの数値はコンピュータ上で正確に表現することはできませんが、計算はそれらの値の上限と下限を任意に緻密に保証することができます。より高度な技術を用いれば、関数のコンピュータ表現が必要なだけ近づくようにすることもできますし、ある選択した意味で近い関数について精密な意味を持つ文を述べたり、証明可能に正しい操作を行うこともできます。

証明には、小さな偏差にもかかわらず特異点が発生することが必要でした。侯氏は言います。「コンピュータが候補プロファイルを提供することは非常に重要です。それに基づいて分析を行うことができます」と、「候補に非常に「近い」関数を系統的に調べることができます。

そうでなければ、「ブローアップには不安定なモードがあるかもしれません。つまり、それに近づくことができるかもしれませんが、特異点自体にはたどり着けないかもしれません。それが逃げ道を見つけるかもしれません」と彼は言います。「特異点から小さな摂動が逸れる不安定な方向があります。」研究者たちは、偏差が十分に小さい場合にすべての逃げ道がブロックされていることをコンピュータに確認するために繰り返し協力しました。

重要なことは、研究者たちは問題のスケーリングされたバージョンで安定性解析を行ったことです。彼らは、空間変動がほぼ同じであると仮定しましたが、特異点までの残り時間のべき乗として長さのスケールが変わります。「有限時間シミュレーションを無限の時間にスケーリングし、空間にもスケーリングを行い、滑らかなプロファイルを持つようにしました」と侯氏は言います。ただし、座標自体は特異点です。「同等の問題ははるかに簡単です。なぜなら、プロファイルが滑らかになるからです。

それにもかかわらず、オイラー方程式の特異点が予想されていたにもかかわらず、「そのような候補を見つけることは非常に困難です」と侯氏は言います。「ランダムにいくつかの滑らかな初期データを選んでも、ほとんど確実にそれはブローアップしません。この自己相似で持続可能で安定したブローアップを生成するためには、非常に特別な条件を見つける必要があります。

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境界を超えて

メリーランド大学のトリスタン・バックマスターは言います。「これらの自己相似座標は、特異点を非特異化するものと考えることができます。特異点が発生することを証明するために、非恐ろしいことが起こることを証明することができます。」彼のチームも滑らかな解を探求しています。

スケーリングは変換の正確な指数を決定することに依存しています。バックマスターと彼の同僚らは、「物理情報を持つニューラルネットワーク」を使用して滑らかな解を可能にする離散値を見つけることに取り組んでいます。

ただし、別の伝統的なソルバーにパラメータを反復的に提案するニューラルネットワークとは異なり、この場合、「ニューラルネットワーク自体は関数の非線形表現に過ぎません」とバックマスターは言います。さらに、「解がどのように見えるべきかについて多くの知識を持っていますので、それをニューラルネットワークに直接組み込むことができます」と彼は言います。対称性、保存則、漸近的な振る舞いを含めることができます。「それは非常に役立ちます。

バックマスターは、彼の方法が境界のない問題の特異点を特定するのに役立つことを期待しています。「従来の数値法はこれらの解の見つけにはあまり役に立ちません。」

侯氏と陳氏の解法は「素晴らしい結果です。彼らはそれを解決しました」とバックマスターは言います。それにもかかわらず、「ゲームの名前は境界を持たないことです」、流れは常にそこに不連続性を持ち、そこで特異点が形成されるからです。バックマスターは、彼の方法が境界のない問題の特異点を特定するのに役立つことを期待しています。「従来の数値法はこれらの解の見つけにはあまり役に立ちません。」

フェファーマンは言います。「少なくとも、クレイ[ナビエ・ストークス]問題と同じくらい興味深いと思います」と。「私はチームのどちらか、または両方が、壁のないオイラー方程式の特異点を見つける可能性があると考えています。」

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粘性を含める

それにもかかわらず、ナビエ・ストークス方程式の解に関する示唆は驚くほど不確かです。粘性のないオイラーの場合を解いた後、フェファーマンは言います。「もし摩擦係数が実際に非常に小さくてゼロではない場合、解はほぼ同じであるはず」と。「それは非常に、非常にもっともらしいですが、現実世界ではまったく真実ではないようです。

フェファーマンは、「流体の流れにおいて微小な摩擦の効果は非常に効果的である」と指摘しています。特異点は、このような矛盾を解決するのに役立つかもしれないと彼は述べており、特異点の後には実際にオイラー方程式の解が存在しないかもしれませんが、他の解決策も存在すると述べています。

バックマスターは、粘性が存在する場合、特異点は境界により依存すると述べています。特異点が持続するかどうかは、粘性を伴う自己スケーリング指数の正確な値に依存し、彼は自身のニューラルネットワークが特にその値を見つけるのに優れていることを期待しています。

粘性は、乱流という重要な現象においても重要です。これはエネルギーのカスケードが起こり、次第に小さなスケールの渦にエネルギーが集中し、最終的には粘性によって熱に変わる現象です。このプロセスは幾何学的な自己相似性を持っていますが、それは流体全体に渦を広げる傾向があり、それを集中させるのではないと侯さんは述べています。「実際、乱流は特異点を破壊する傾向があります。」それにもかかわらず、彼は最近、ナビエ-ストークス方程式においてやや異なる特異点につながるシナリオを説明しました。

フェファーマンは、「もし特異点が存在するならば、さまざまな特異点が存在し、現在の興奮を持ってしてもそれらは最も簡単に説明できるものを発見しているだけかもしれない」と述べています。

参考文献

Chen, J. and Hou, T.Y. Stable nearly self-similar blowup of the 2D Boussinesq and 3D Euler equations with smooth data, https://arxiv.org/abs/2210.07191 (2022).

Cepelewicz, J. Computer Proof ‘Blows Up’ Centuries-Old Fluid Equations, Quanta , Nov. 16, 2022, https://bit.ly/3ZAiXvU

Cepelewicz, J. Deep Learning Poised to ‘Blow Up’ Famed Fluid Equations, Quanta , April 12, 2022, https://bit.ly/3YBmJns

The Navier-Stokes Millennium Problem, with an official problem description by Charles Fefferman, Claymath.org , http://bit.ly/3l63PXV .

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著者

ドン・モンローは、アメリカ、バーモント州ミドルベリーを拠点とする科学技術ライターです。

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